Definição de Número Primo.
Um número natural é denominado primo, quando, por
definição ele possui apenas dois divisores positivos e distintos. Os números
primos pertencem ao conjunto dos números naturais não nulos, desta forma um
número natural é primo se for maior que 1 e divisível somente por 1 e por ele
mesmo.
O número 1 não é um número primo, pois o mesmo não possui
dois divisores distintos.
O número 2 é o único primo par, já que todos os demais
números pares são múltiplos de 2, logo possuem mais de 2 divisores comuns.
Origem
do nome “primo”.
A
palavra primo refere-se a ideia de primeiro, sua origem está na concepção
numérica da escola pitagórica, no século 5 a.C. A escola pitagórica dava grande importância ao número um,
que era chamada de unidade ( em grego: monad ). Os demais números inteiros naturais recebiam o nome
( em grego: arithmós ) que eram gerados pela simples multiplicidade
pela unidade.
- ·
a monad: a unidade ou um
- ·
os arithmói ( os números ) dois,
três, quatro, etc, ou seja: todas as coleções de unidades
Entre os
pitagóricos, a preocupação com a geração dos números não parava aí. Já o
próprio Pythagoras teria atinado que existem dois tipos de arithmói:
- ·
os protói arithmói (números primos) ou asynthetói aritmói (números não
compostos): aqueles que não podem ser gerados pelo produto de outros números
além da unidade. 2, 3, 5, 7, 11, etc.;
- ·
os deuterói arithmói (números compostos): aqueles que podem ser gerados
pelo produto de outros números. 4 (=2x2), 6 (=2x3), 8, 10, 12, 14, etc.
A
definição de Euclides para esses números reflete essa classificação:
"Número
primo é aquele que só pode ser medido através da unidade."
Com saber se um número é primo?
Não existem uma fórmula que calcule todos os números
primos existentes, visto que conforme Euclides que provou por “absurdo” que os
números primos são infinitos. Existem meios de identificarmos os números
primos, vejamos:
Decomposição em fatores primos.
Uma forma de saber se um número é ou não primo e testando
sua divisão por primos, começando sempre por 2, de forma que tenhamos na
divisão resto zero ou o quociente seja menor ou igual número primo testado como
divisor.
Vamos testar se 15 é primo:
15| 2 – Dividindo por 2 temos quociente 7 e resto 1
15| 3 – Dividindo por 3 temos resto 0, logo não é primo.
Vamos testar se o número 17 é primo:
17| 2 - Dividindo por 2 temos quociente 8 e resto 1
17| 3 - Dividindo por 3 temos quociente 5 e resto 2
17| 5 - Dividindo por 5 temos quociente 3 e resto 2
Como o quociente da divisão é menor do que o primo
testado (3<5), conclui-se que 17 é primo.
Vamos testar se o número 29 é primo:
29| 2 - Dividindo por 2 temos quociente 14 e resto 1
29| 3 - Dividindo por 3 temos quociente 9 e resto 2
29| 5 - Dividindo por 5 temos quociente 5 e resto 4
Como o quociente da divisão é igual ao primo testado
(5=5), conclui-se que 29 é primo.
Vamos testar se o número 47 é primo:
47| 2 - Dividindo por 2 temos quociente 23 e resto 1
47| 3 - Dividindo por 3 temos quociente 15 e resto 2
47| 5 - Dividindo por 5 temos quociente 9 e resto 2
47| 7 - Dividindo por 7 temos quociente 6 e resto 4
Como o quociente da divisão é menor do que o primo
testado (6<7), conclui-se que 47 é primo.
Um
matemático grego chamado Eratóstenes (285-194 a.C) criou um método simples para
identificar os números primos em uma sequência de números naturais de 1 até n,
que foi chamado de crivo de Eratóstenes. Eratóstenes viveu em Alexandria
algumas décadas depois de Euclides. Foi diretor da famosa Biblioteca de
Alexandria e do Museu, enquanto acumulava uma série de outras atividades.
O método
testa se um número é primo eliminando todos os seus múltiplos.
Para
representar a forma de utilizar o crivo, vamos considerar uma tabela com os
números naturais de 1 a 100.
1º passo: localizar o primeiro número primo da tabela e eliminar seus múltiplos.
Primeiro
número primo – número 2.
Seus
múltiplos – todos os números pares.
Obs.: O
número 1 não consta na tabela por não ser primo por definição.
|
2
|
3
|
|
5
|
|
7
|
|
9
|
|
11
|
|
13
|
|
15
|
|
17
|
|
19
|
|
21
|
|
23
|
|
25
|
|
27
|
|
29
|
|
31
|
|
33
|
|
35
|
|
37
|
|
39
|
|
41
|
|
43
|
|
45
|
|
47
|
|
49
|
|
51
|
|
53
|
|
55
|
|
57
|
|
59
|
|
61
|
|
63
|
|
65
|
|
67
|
|
69
|
|
71
|
|
73
|
|
75
|
|
77
|
|
79
|
|
81
|
|
83
|
|
85
|
|
87
|
|
89
|
|
91
|
|
93
|
|
95
|
|
97
|
|
99
|
|
2º passo: localizar o segundo número primo e eliminar todos os seus múltiplos.
Segundo
número primo – número 3.
Seus
múltiplos – 09 , 15 , 21 , 27 , 33 , 39 45 , 51 , 57 , 63 , 69 , 75 , 81 , 87 ,
93 , 99.
Veja que
já foram eliminados os múltiplos de 3 que são pares.
1
|
2
|
3
|
|
5
|
|
7
|
|
|
|
11
|
|
13
|
|
|
|
17
|
|
19
|
|
|
|
23
|
|
25
|
|
|
|
29
|
|
31
|
|
|
|
35
|
|
37
|
|
|
|
41
|
|
43
|
|
|
|
47
|
|
49
|
|
|
|
53
|
|
55
|
|
|
|
59
|
|
61
|
|
|
|
65
|
|
67
|
|
|
|
71
|
|
73
|
|
|
|
77
|
|
79
|
|
|
|
83
|
|
85
|
|
|
|
89
|
|
91
|
|
|
|
95
|
|
97
|
|
|
|
3º passo:
localizar o terceiro número primo e eliminar todos os seus múltiplos.
Terceiro
número primo – número 5.
Seus
múltiplos – 25 , 35 , 55 , 65 , 85 e 95.
Veja que
já foram eliminados os múltiplos de 5 que são pares e múltiplos de 3.
1
|
2
|
3
|
|
5
|
|
7
|
|
|
|
11
|
|
13
|
|
|
|
17
|
|
19
|
|
|
|
23
|
|
|
|
|
|
29
|
|
31
|
|
|
|
|
|
37
|
|
|
|
41
|
|
43
|
|
|
|
47
|
|
49
|
|
|
|
53
|
|
|
|
|
|
59
|
|
61
|
|
|
|
|
|
67
|
|
|
|
71
|
|
73
|
|
|
|
77
|
|
79
|
|
|
|
83
|
|
|
|
|
|
89
|
|
91
|
|
|
|
|
|
97
|
|
|
|
4º passo:
localizar o quarto número primo e eliminar todos os seus múltiplos.
Quarto
número primo – número 7.
Seus múltiplos
– 49 , 77 e 91.
Veja que
já foram eliminados os múltiplos de 7 que são pares, múltiplos de 3 e de 5.
1
|
2
|
3
|
|
5
|
|
7
|
|
|
|
11
|
|
13
|
|
|
|
17
|
|
19
|
|
|
|
23
|
|
|
|
|
|
29
|
|
31
|
|
|
|
|
|
37
|
|
|
|
41
|
|
43
|
|
|
|
47
|
|
|
|
|
|
53
|
|
|
|
|
|
59
|
|
61
|
|
|
|
|
|
67
|
|
|
|
71
|
|
73
|
|
|
|
|
|
79
|
|
|
|
83
|
|
|
|
|
|
89
|
|
|
|
|
|
|
|
97
|
|
|
|
Desta forma chegamos ao quadro com os números
primos existentes entre os 100 primeiros números naturais, assim os
números primos compreendidos entre 1 e 100 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.